Metode Numerik Interpolasi

II. PEMBAHASAN

A.           Pengertian Interpolasi

Interpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan nilai suatu fungsiyang grafiknya melewati sekumpulan titik yang diberikan Titik-titik tersebut mungkin merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan, atau diperoleh dari sebuah fungsi yang diketahui. Fungsi interpolasi biasanya dipilih dari sekelompok fungsi Secara umum penyusunan sebuah polynomial hampiran untuk satu himpunan data titik-titik diskrit.Titik-titik ini yang biasanya disajikan dalam bentuk table,mungkin merupakan hasil eksperimen fisik.

Interpolasi digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam bidang teori hampiran yang lebih umum.Berikut diberikan beberapa masalah hampiran dan kemungkinan pemakaian interpolasi untuk menyelesaikanya.

B.              Macam-macam Interpolasi

Interpolasi terdiri atas beberapa berikut penjelasanya :

a)      Interpolasi Linear

Interpolasi Linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus . Misal diberikan dua buah titik, (x₀,y₀) dan (x₁,y₁). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:

                                          (1)

Gambar dibawah ini memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik (x₀,y₀) dan (x₁,y₁).

Y

X

(x0,y0)

(x1,y1)

 

Gambar .a Interpolasi Linier

Y

X

(x0,y0)

(x1,y1)

 

Gambar 1.b. Interpolasi Linier

Koefisien  dan  dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan mensubstitusikan  dan  ke dalam persamaan    diperoleh dua persamaan linear: 

                                              (2)

                                              (3)

Dari dua persamaan diatas, dengan eliminasi diperoleh:

 

   

                                                                                   (4)

Substitusikan nilai  ke dalam persamaan (2), diperoleh:

 

                                   

                                     

                                     

                                     

                                     

                                     

                                                                                (5)

Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai dapat dilakukan sebagai berikut:

                                       (6)

Contoh 1.

Perkiraan jumlah penduduk Amerika Serikat tahun 1968 berdasar table tabulasi sebagai berikut :

Tahun	1960	1970
Jumlah Penduduk	179,3	203,2

Penyelesaian

            jadi perkiraan jumlah penduduk AS 198,4 Juta

b)        Interpolasi Kuadratik

Misal diberi tiga titik buah data , .Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat berbentuk :

                   (6)

Bila digambar,kurva polinom kuadrat parabola seperti ditunjukan pada gambar berikut :

Y

X

x0,y0

x1,y1

x2,y2

x2

x1

x0

y0

y1

y2

 

           

Gambar 3. Interpolasi Kuadratik

            Menyelesaikan polinom  ditentukan dengan cara berikut :

1.         Subtitusikan  ke dalam persamaan  dengan i = 0, 1, 2. Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yaitu:  dan

2.         Hitung  dan  dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi Gauss.

Contoh 2

Diberikan titik ln(8,0) = 2,0794,ln(9,0) = 2,1972 dan ln(9,5) = 2,2513.Tentukan nilai ln(9,2) dengan interpolasi kuadratik.

Penyelesaian

Sistem Persamaan linier yang berbentuk adalah

a_{0 +} 8,0 a₁ + 64,00 a₂ =2,0794

a_{0 +} 9,0 a₁ + 81,00 a₂ =2,1972

a_{0 +} 9,5 a₁ + 90,25 a₂ =2.2513

Penyelesaian system linier dengan metode eliminasi Gauss menghasilkan a₀ = 0,6762; a₁=0,2266; a₂=0,0064.Polinom kuadratnya adalah

sehingga

c)         Interpolasi Kubik

Misal diberikan empat buah data (x₀,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂).Polinom yang menginterpolasi keempat buah titik itu adalah polinom kubik yang berbentuk:

p₃(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³                           (7)

polinom p₃(x) ditentukan dengan cara berikut:

-          Substitusikan (x_i,y_i) ke dalam persamaan (7), i = 0, 1, 2, 3. Dari sini diperoleh empat buah parameter yang tidak ketahui a_0,a₁,dan a_2:

a_{0 +} a₁x₀ + a₂x₀² + a₃x₀³ = y₀

a_{0 +} a₁x₁ + a₂x₁² + a₃x₁³ = y₁

a_{0 +} a₁x₂ + a₂x₂² + a₃x₂³ = y₂

a_{0 +} a₁x₃ + a₂x₃² + a₃x₃³ = y₃

-          Menghitung a_0,a_1,a₂ dan a₃ dari persamaan tersebut dengan metode eliminasi Gauss

Bila digambar,kurva polinom kubik seperti berikut :

Gambar 3. Interpolasi Kubik

d)     Polinom Lagrange

Tinjau kembali polinom lanjar pada persamaan (6)

p₁(x) = (x-x₀)                                            (8)

persamaan ini dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi:

p₁(x) = y₀ +                                       (9)

atau dapat dinyatakan dalam bentuk

a₀L_0(x)+ a₁L_1(x)                                                (10)

            Yang dalam hal ini :

                        a₀ = y₀, L₀(x) =

                        a₁ = y₁, L₁(x) =

            Bentuk Umum polinom Lagrange derajat < n untuk (n+1) titik berbeda adalah

                                  (11)

           

            Contoh 3.

Hampiran fungsi f(x) = cos x dengan polinom interpolasi derajat tiga didalam selang [0,0;1,2].Gunakan empat titik x₀ =0,0;x₁ =  0,4,x₂ = 0,8 dan x₃=1,2.Perkirakan nilai p₃(0,5) dan bandingkan nilai sejatinya

Penyelesaian

xi	0,0	0,4	0,8	1,2
yi	1,000000	0, 921061	0,696707	0,362358

           

            p₃(x) = 1,000000 +

           

            p₃(0,5) =

                        = 0,877221

            Contoh 4.

Dari fungsi y= f(x),diberikan tiga buah tiitk dalam bentuk table :

x	1	4	6
Y	1,5709	1,5727	1,5751

           

Tentukan f(3,5) dengan polinom Lagrange derajat 2.Gunakan lima angka bena.

Penyelesaian

Polinom derajat 2 -> n=2(perlu tiga  buah titik)

            P₂(x) =L₀(x)y₀ + L₁(x)y₁ + L₂(x)y₂

            L₀(x) =                      L₀(3,5) = =0,083333

            L₁(x) =                      L₁(3,5) = =1,0417

            L₂(x) =                      L₂(3,5) = =-0,12500

            Jadi,

            p₂(3,5) ₌ (0, 083333)( 1,5709)+( 1,0417)( 1,5727)+( -0,12500)( 1,5751)

                        = 1,5723

e)      Polinom Newton

Persamaan Polinom Linier

Bentuk persamaan ini ditulis

                              P_1(x)= a₀ + a₁(x-x₀)

Yang dalam hal ini

                  a₀= y₀ =f(x₀)

                  a_{1 =}

Persamaan ini merupakan bentuk selisih terbagai (divided-difference) dan dapat disingkat menjadi

                        a₁ = f[x1,x2]

            Polinom Kuadratik

                                               (13)

            Tahapan Pembentukan polinom Newton sebagai berikut

           

            Contoh 5

            Hitunglah f(9,2) dari nilai-nilai (x,y) yang diberikan pada table di bawah ini dengan polinom Newton derajat 3

Penyeesaian

Tabel selisih-bagi

   

Contoh menghitung nilai selisih –terbagai pada table adalah

Nilai-nilai selisih terbagi yang dibutuhkan untuk membentuk polinom Newton derajat 3 ditandai denga arsiran.

Polinom Newtonya (dengan x₀ =8,0 sebagai data pertama) adalah

Taksiran nilai fungsi pada x= 9,2 adalah

           

Taksiran nilai fungsi pada x= 9,2 adalah

C.     Aplikasi Interpolasi

Interpolasi merupakan suatu pendekatan numerik yang perlu dilakukan, bila ingin memerlukan nilai suatu fungsi y= f (x) yang tidak diketahui perumusannya secara tepat.

Tabel 1.a. Harga fungsi

Tabel 1. b. Harga Fungsi

Pada nilai argumen x tertentu, nilai pada argumen lain di sekitar argumen yang diinginkan diketahui. Interpolasi perlu dilaksanakan untuk mendapatkan nilai diantara titik sampel. Ini berguna untuk berbagai kebutuhan seperti perencanaan pembangunan pelabuhan, pengembangan parawisata dan budidaya pesisir. Serta perlu mengumpulkan data dengan survei lapangan.

Tabel 2. Data X dan Y

Pada jurnal yang berjudul “Akurasi metode IDW dan kriging untuk interpolasi sebaran sedimen tersuspensi di maros, sulawesi selatan” yang memanfaatkan metode interpolasi data, pada penelitian menggunakan perangkat lunak Sistem Informasi Geografis (SIG) yaitu Arcview Versi 3.2 Dari Environmental Systems Research Institute (ESRI) dalam interpolasi dengan menggunakan metode IDW, terdapat dua parameter yang bisa dipelajari yaitu power dan jumlah sampel. Power dapat digunakan untuk menentukan pentingnya nilai sampel data pada perhitungan interpolasi. Interpolasi local bisa dirubah menjadi interpolasi global dengan merubah power. Power yang lebih tinggi akan menjadikan kurangnya pengaruh dari sampel data sekitarnya dan hasil interpolasi menjadi lebih detail.

Pada jurnal ‘Analisis dan implementasi penggunaan metode interpolasi nearest neighbor dan interpolasi bilinear (studi kasus : aplikasi image viewer berbasis android)’, implementasi dan pembahasan penggunaan metode interpolasi pada studi kasus aplikasi Image Viewer ini menggunakan bahasa pemrograman Java untuk Android Platform. Batasan implementasi yang terdapat pada aplikasi Image Viewer ini adalah bahwa aplikasi ini hanya melakukan implementasi pengunaan metode interpolasi Nearest Neighbor dan interpolasi Bilinear pada saat pembentukan citra.

Dan selanjutnya pada jurnal yang berjudul ‘Pendekatan interpolasi polinomial untuk evaluasi dan monitoring progres fisik pada sistem pelaporan kontruksi’ yang memanfaatkan polinom interpolasi untuk mengubah fungsi yang rumit menjadi fungsi yang lebih sederhana. Interpolasi memegang peranan yang penting sehingga dalam metode numerik merupakan pokok bahasan yang fundamental.

Metode Interpolasi linier adalah metode yang digunakan untuk mengetahui nilai dari suatu titik dalam garis lurus. Pada proses interpolasi, parameter inputan yang dimasukkan adalah posisi (x,y) pada titik selanjutnya dari hasil pengecekan titik yang segaris dan searah tujuan yang sesuai gambar 1. Untuk proses perhitungan pada metode interpolar linier, dibutuhkan 3 titik utama, yaitu titik awal dari sebuah garis, kemudian titik akhir dari sebuah garis yang sama dan yang terakhir adalah titik di antara titik awal dan akhir dari garis yang akan di deteksi. Sehingga hasil dari kalkulasi tersebut dapat mengetahui apakah titik yang berada ditengah-tengah titik awal dan titik akhir dari suatu garis yang akan di deteksi merupakan linier terdapat titik-titik tersebut atau tidak.

Gambar 1. Arah Garis Pixel dan Monitor

Gambar 2. Hasil Deteksi Garis

III. PENUTUP

A.           Kesimpulan

Berdasarkan uraian diatas diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1.         Interpolasi merupakan proses pencarian data dan perhitungan nilai suatu fungsi yang graiknya melewati suatu titik.

2.         Interpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan nilai suatu fungsiyang grafiknya melewati sekumpulan titik.

3.         Interpolasi banyak diaplikasikan dalam kehidupan untuk berbagai kegiatan seperti untuk evaluasi dan monitoring progres fisik pada sistem pelaporan kontruksi.

B.            Saran

Setelah diberikan uraian diatas penulis memberikan saran untuk mahasiswa yaitu :

1.      Mempelajari mengenai Interpolasi ini untuk menunjang perkuliahan

2.      Belajar dengan kesungguhan mengenai metode ini karena banyak pengaplikasian dalam kehidupan.